1 、 電路的零輸入響應(yīng)
圖 1 rc電路的放電過程
在圖1 （ a ）中，換路前（ s1 閉合， s2 斷開），電路是由電容 c 與電壓 的直流電壓源聯(lián)接而成，電容電壓 。當(dāng) t=0 時，打開 s1 并合上 s2, 使電容脫離電源而改接于電阻 r 上。此后 , 電容通過電阻放電，電容電壓將由它的初始值開始，隨時間的增長逐漸減小以趨近于零。在放電過程中，電容內(nèi)的電場能量將轉(zhuǎn)化為電阻發(fā)熱損耗的能量。
求解電容通過電阻放電時的放電電流和電壓隨時間變化的規(guī)律，也就是求解圖1(b) 所示電路的零輸入響應(yīng)。為此，首先必須建立換路后電路的微分方程。
按照圖中標(biāo)明的電容電壓和電流的參考方向，電容電壓和電流的關(guān)系式應(yīng)為
基爾霍夫電壓定律，可得電路的微分方程為
（ 1 ）
此微分方程的特征方程為
特征根為
因而該微分方程的通解為 （ 2 ）
該微分方程的初始條件顯然是
由式 (2) ，令 ，并將初始條件 代入，得到
從而得到在給定初始條件下，電容上的零輸入響應(yīng)電壓
（ 3 ）
零輸人響應(yīng)電流（即放電電流 ) 則應(yīng)為
（ 4 ）
或
電容電壓 和電流 隨時間變化的曲線如圖 2 所示。
圖2 rc電路的零輸入響應(yīng)曲線
函數(shù)式和曲線均表明：在 rc 電路的放電過程中，電容電壓 從它的初始值 開始，隨時間的增長按指數(shù)規(guī)律逐漸下降以趨近于零。電流 在放電初瞬（ 時）形成 — 個正跳變，即從 跳變到 。 這是電 容上的原有電壓 在換路后的初瞬突然加到電阻 r 上所造成的結(jié)果。以后，隨著電容電壓的逐漸下降，放電電流也按相同指數(shù)規(guī)律逐漸衰減直至消失。
在給定電容電壓初始值 的情況下，電容 c 越大，電容中儲存的電荷越多，放電需要的時間越長；電阻 r 越大，放電電流越小，放電需要的時間也越長。因此，電容電壓和電流衰減的快慢，決定于電路參數(shù) r 和 c 的乘積。這個乘積是一個常量，具有時間的量綱，它代表電容電壓和電流共有的指數(shù)衰減因子 衰減至其初始值的 e 分之一所需要的時間，故稱之為指數(shù)衰減因子的時間常數(shù)(time constant) ．通常直接稱之為 rc 電路的時間常數(shù)，以τ代表，即
τ＝ rc (5)
時間常數(shù)的概念表明，電容電壓和電流衰減的快慢取決于電路的時間常數(shù)。 放電前電容上原有電壓 的高低，將影響電容電壓和電流在放電過程中任意 瞬時的函數(shù)值，但不能決定放電過程的快慢。
說明：(1) 每經(jīng)過時間τ，電容電壓 ( 或電流 ) 衰減至原值 [ 指區(qū)間τ的起點電容電壓 ( 或電流 ) 的數(shù)值 ] 的 36.8%。
(2) 當(dāng) t ＝ 4 τ —5 τ時，電容電壓（或電流 ) 將衰減至其初始值的1.84 ％ - 0.68 ％，一般己可忽略不計，而認(rèn)為放電過程已基本結(jié)束。
顯然，時間常數(shù)τ愈小，放電過程進行得愈快；反之，則愈慢。
綜上所述， rc 電路的零輸入響應(yīng)是依靠電容上的初始電壓來維持的，或者說是依靠電容中原有電場能量來維持的。隨著放電過程的進行，電場能量逐漸被電阻消耗，從而決定了 rc 電路零輸入響應(yīng)按指數(shù)規(guī)律衰減的特性。 rc 電路零輸入響應(yīng)的瞬時值決定于電容上的初始電壓 和電路的時間常數(shù)τ。
2、 rl 電路的零輸入響應(yīng)
在圖1 所示電路中，換路前 ，換路后電路中的響應(yīng)即為 rl 電路的零輸入響應(yīng)。這時電路的微分方程為
（ 6 ）
其特征方程為
特征根為
因而該微分方程的通解為
代入初始條件
即得零輸入響應(yīng)電流為 ( 7 )
零輸入響應(yīng)電感電壓 [ 參考方向與 一致 ] 為
(8)
電感電流 與電感電壓 隨時間變化的曲線如圖4 所示。
由函數(shù)式和曲線均可看出：在 rl 電路中，零輸入響應(yīng)電流 從 它的初始值 開始，隨時間的增長按指數(shù)規(guī)律逐漸衰減以趨近于零。電 感電壓 在換路后的初瞬有 — 個負跳變，即由 跳變到 。以后，隨著電流的逐漸下降，電感電壓的絕對值也按同一指數(shù)規(guī)律逐漸哀減直至消失。
圖4 rl電路的零輸入響應(yīng)曲線
電流和電感電壓絕對值衰減的過程，就是磁場能量放出的過程。衰減的快 慢決定于 rl 電路的時間常數(shù)τ＝ l ／ r ，增大 l 或減小 r ，響應(yīng)的衰減減慢；反之則衰減加快。τ值也可根據(jù)電流 ( 或電感電壓 ) 曲線用作圖法求出 [見圖4(a)] 。
與 rc 電路的分析相似，大約經(jīng)過 4 τ —5 τ的時間后，就可近似地認(rèn)為零輸入響應(yīng)已衰減為零了。
綜上所述，可知：
(1) rc 電路 ( 或 rl 電路 ) 中的零輸入響應(yīng)電壓和電流均以同一時間常數(shù)隨時問按指數(shù)規(guī)律變化，僅初始值不同而已。因此，只要求出了響應(yīng)的初始值
和電路的時間常數(shù)τ，就可根據(jù)式 (3) 、 (4)[ 或式 (7) 、 (8)]直接寫出電路的零輸入響應(yīng)。
（2) rc 電路和 rl 電路的零輸入響應(yīng)都是電路原始狀態(tài)的線性函數(shù)。例 如， 作為原始狀態(tài) 的函數(shù)來看，滿足齊次性與可加性；類似地，作為原始狀態(tài) 的函數(shù)來看，也滿足齊次性與可加性。
（3)rc 電路的零輸入響應(yīng)與 rl 電路的零輸入響應(yīng)具有對偶性，二 者的時間常數(shù)也具有對偶性。但須注意， rc 電路的時間常數(shù)τ＝ rc ， rl 電路的時間常數(shù)τ＝ ，其中電容 c 與電感 l 互為對偶，電阻 r 則應(yīng)與電導(dǎo) 互為對偶。