一、平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)
設(shè)線性系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為，輸入隨機過程為，則輸出隨機過程等于與的卷積，即
1.輸出隨機過程的數(shù)學(xué)期望
假設(shè)輸入平穩(wěn)隨機過程，其均值為，經(jīng)線性系統(tǒng)傳輸后，輸出隨機過程的數(shù)學(xué)期望為
輸出隨機過程的數(shù)學(xué)期望等于輸入隨機過程的數(shù)學(xué)期望乘以。
物理意義：平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)后，輸出的直流分量等于輸入的直流分量 乘以系統(tǒng)的直流傳遞函數(shù)。
2.輸出隨機過程的自相關(guān)函數(shù)
輸出隨機過程的自相關(guān)函數(shù)為
更換上式中數(shù)學(xué)期望各積分的次序，可改寫為
因為是平穩(wěn)的，則有
于是
可見，輸出隨機過程的自相關(guān)函數(shù)只依賴與時間間隔而與時間起點無關(guān)。
結(jié)論：當(dāng)輸入隨機過程是廣義平穩(wěn)時，輸出隨機過程也是廣義平穩(wěn)的。
3.輸出隨機過程的功率譜密度
設(shè)輸入平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度為。
令，則有，代入上式得
由于
得
線性系統(tǒng)輸出的平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度是輸入隨機過程功率譜密度與線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)模平方的乘積。
二、隨機過程通過乘法器
在通信系統(tǒng)中廣泛使用的線性調(diào)制器和相干解調(diào)器，其主要部件是乘法器。下面我們要分析平穩(wěn)隨機過程經(jīng)過乘法器后，輸出過程如何？
乘法器可以看成是一個六端口網(wǎng)絡(luò)，平穩(wěn)隨機過程通過乘法器的數(shù)學(xué)模型如圖3.7.2所示。
三、乘法器模型
乘法器的輸出為
從廣義平穩(wěn)判定條件可知，若要判是否平穩(wěn), 要看其數(shù)學(xué)期望（均值）是否為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)是否與無關(guān)而只和時間間隔有關(guān)。
1. 輸出隨機過程的數(shù)學(xué)期望
常數(shù)
所以不再是廣義平穩(wěn)隨機過程。
2. 輸出隨機過程的自相關(guān)函數(shù)
但是卻是時間的函數(shù)，因此說明經(jīng)過乘法器后的隨機過程不再是廣義平穩(wěn)隨機過程。但輸出隨機過程的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)是時間的周期函數(shù)，則為循環(huán)平穩(wěn)隨機過程。
3．輸出隨機過程的平均功率譜密度
非廣義平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度的定義為
將它代入上式后得
因為
應(yīng)用調(diào)制定理就可以得到通過乘法器后輸出隨機過程的功率譜密度。即
其功率譜密度如圖3.7.3所示。
圖3.7.3 乘法器輸入輸出的功率譜密度
結(jié)論：低頻平穩(wěn)隨機過程通過乘法器，其輸出過程的功率譜密度是輸入隨機過程功率譜密度在頻率軸上搬移到和處，且幅度減小為原來的1/4。